Los puentes de Königsberg

Fragmento del capítulo I

Del libro: Hacia la creatividad cuántica

Autora: Lilia Morales y Mori 

Durante mis desordenadas lecturas en la librería de la calle de Matamoros en Monterrey, donde mi padre era el gerente, un día descubrí a Leonhard Euler (1707-1783). No está de más decir que este ilustre personaje, gran matemático y físico suizo fue mi primer amor infantil. En el libro de la Historia de las Matemáticas, que yo leía con gran interés, encontré un tema que no tardaría en enriquecer mi inquieta y laboriosa imaginación. El argumento se refiere a un lugar llamado Königsberg, antiguo nombre de una ciudad rusa de Kaliningrado que durante el siglo XVIII formaba parte de Prusia. A dicha ciudad la atraviesa el río Pregolya, el cual se bifurca para rodear con sus brazos a la isla Kneiphof, dividiendo el terreno en cuatro regiones distintas. (figura 11) Tales regiones en aquel tiempo estaban unidas mediante siete puentes llamados: Puente del Herrero, Puente Conector, Puente Verde, Puente del Mercado, Puente de Madera, Puente Alto y Puente de la Miel.

Figura 11. Los puentes de Königsberg

Dadas las características del puente, el río y la ciudad, los intelectuales de la época formularon un célebre problema matemático, que consistía en encontrar un recorrido para cruzar a pie toda la ciudad, pasando sólo una vez por cada uno de los puentes, y regresando al mismo punto de inicio. Creí qué si los grandes pensadores de esa época se habían planteado este problema, por supuesto, tenía que tener una solución. Y bueno, no tardé en darme a la expedita tarea de trazar infinidad de recorridos posibles, todos completamente infructuosos.

Para mi tranquilidad investigativa de niña perseverante, descubrí que Euler determinó, en el contexto del problema, que los puntos intermedios de un recorrido posible, necesariamente han de estar conectados a un número par de líneas. En efecto, si llegamos a un punto desde alguna línea, entonces el único modo de salir de ese punto es por una línea diferente. Esto significa que tanto el punto inicial como el final serían los únicos que podrían estar conectados con un número impar de líneas. Sin embargo, el requisito adicional del problema dice que el punto inicial debe ser igual al final, por lo que no podría existir más de un único punto conectado con un número impar de líneas.

Con este fantástico argumento, aprendí muy a tiempo varias cosas que habría de utilizar una y otra vez en el diseño de mis futuros juegos y modelos matemáticos. Aunque estoy segura que el más importante aprendizaje sobre este problema, es que jamás se debe decir: ¡No se puede!, lo significativo es argumentar por qué ¡No se puede! Más adelante, a la edad de veinticuatro años habría de profundizar en la teoría de grafos y en la topología, área de las matemáticas cuyo origen directo puede situarse en la resolución de este problema.

Una tarde habitual como todas, había sacado mis coloridos poliedros de cartón y los había alineado sobre la mesa donde hacía mi tarea, al terminarla, como casi siempre solía hacer, jugaba un rato con los triángulos del hexágono. Me llamaban mucho la atención las diferentes figuras que podían formarse en el centro. Había realizado una decena de ellas, aunque hermosas, eran irregulares, pero para mi sorpresa, no tardé en encontrar otra figura regular. ¡El rombo! y no lo dudé por ningún momento, pero preferí asegurarme. Me dirigí a la sala, estando frente al librero, contemplé los doce tomos de la enciclopedia. Alcancé el pesado libro que correspondía a la “R” pasé las páginas hasta que di con la palabra que buscaba. Leí con atención: El rombo es un cuadrilátero paralelogramo cuyos cuatro lados son de igual longitud. Los ángulos interiores opuestos son iguales. Sus diagonales son perpendiculares entre sí y cada una divide a la otra en partes iguales. No cabía la menor duda, había encontrado una cuarta figura en el interior del hexágono que se podía construir con los seis triángulos de mi elemental diseño.

El hallazgo me obligó a pensar en la posibilidad de que pudiera existir otra figura regular, y para fortuna mía, después de muchos intentos, encontré ni más ni menos, a la edad de trece años: ¡El triángulo! No lo podía creer. Ese fue un día de fiesta que celebré con Julia en la cocina, haciendo un pastel. Todos en mi casa sin saberlo, participaron en el evento: el pastel era de forma triangular.

Las cinco figuras regulares de mi hexágono (figura 12) permanecieron muchos años en el cajón del olvido. No obstante, yo tenía la certeza que los modelos que había desarrollado en mi infancia y mi adolescencia, podían darme alguna información respecto a la actividad mental que desarrolla el pensamiento humano, a través de la búsqueda de soluciones de un problema en particular. Debo decir entre paréntesis, que a pesar de mi gran fascinación por las matemáticas, un día decidí estudiar la carrera de Biología en la Facultad de Ciencias de la UNAM, lo que me permitió desarrollar algunos trabajos de investigación en el área biomédica. Por supuesto, en uno de mis proyectos experimentales, en el departamento de bromatología, desarrollé una fórmula matemática para leer las lecturas del polígrafo que obtenía gráficamente, al estudiar segmentos de intestino de ratón sometido a una dieta específica.

Figura 12. Transformaciones de un módulo hexagonal polivariante.

Experimentar el modelo de las cinco figuras regulares que se obtienen con los seis triángulos, con un buen número de personas, me permitió descubrir varias cosas: generalmente, la primera figura que se encuentra es el círculo seguida del hexágono y la estrella. Como dato curioso, por lo general, los hombres encuentran primero el hexágono y las mujeres el círculo. En cuarto lugar y con cierta dificultad encuentran el rombo, y muy pocas personas tienen la paciencia para encontrar el triángulo. Es importante entregarle a la persona que desee descifrar este enigma los seis triángulos ordenados por ejemplo, de la forma que se ilustra en la figura 13, y pedirle que forme un hexágono, cuidando que al centro se forme una figura regular, es decir, que tenga todos sus lados iguales. 

Figura 13. Los 6 triángulos del módulo polivariante hexagonal

(Continuará)

Nota: El índice de los capítulos de "Hacia la creatividad cuántica" se encuentra en el cintillo izquierdo del blog.